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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 }I*l]7IQ  
eyB>u)  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. |_(<OhJh  
\HKH};0Xk  
　　1、三角函数本质： r3PB}M\  
qG>i4oMLs  
　　三角函数的本质来源于定义 Zp W I  
Z~$w1*g  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 v-pMj5D$  
d5BpiF :b  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 /N@g|wdI  
G.3Vv7.G  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： bE+5{M  
--FadP7_o  
　　推导： ))uT ce/  
9%>HjM' p  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 |s^_5u09  
,f|I/.[z  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) GYDi,#s  
k0jP2.dA4  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) HYcTi"%  
-C'e4:9  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Xr1qG+  
&s5;XJE  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） @ (RR[w  
E# Gx{t_2  
　　[1] <SrTi4_  
>`*'<   
　　两角和公式 znNil|P  
c'-&P(Gy  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB >2|^:RP  
?Az :ugo8  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ] x-~  
7(+M*  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Pf59t'  
Z_ROx@ ]a'  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB PZ8uVa&=  
DX4 Y_uT  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) g5&=>]]Z  
OF?X%y45?  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) l{1p7tc  
f=df {pR2  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  .l: i!,=  
:*kj@b  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) i rfGPid$  
jy,z3ib  
倍角公式 E%hns24  
~mi\#oy  
　　Sin2A=2SinA•CosA C' ozsp  
=J=o*7e8  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 kp.bbK%  
OI/|)L  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） $um+^C(6g  
c<&BJWBa  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） [D`MAjw2  
~1a7Tzm^@  
三倍角公式 kk ;-qQ  
h'i>">8&z  
　　 O&!<Jvr  
h)ID>*r7Wm  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) /G CB  
~O, >Dr  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) f-$qm#  
C"W%kdy  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Y&1I c  
T}o}BU  
三倍角公式推导 ;?:~fZa;  
~wd+:   
　　sin3a }_BV x  
m3 ZhD  
　　=sin(2a+a) ]Fn,}{[  
/M q ^""  
　　=sin2acosa+cos2asina b}jM5_h=f  
>J7{  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 6 R Y"F  
OJA~?l  
　　=3sina-4sin³a TMI|p,*  
!c3^`  
　　cos3a Js,)%xc  
8Rx7 h)  
　　=cos(2a+a) o;it4@H^c  
CK0AzA:!  
　　=cos2acosa-sin2asina =1HJ>Qdj  
f~],dW5Z  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa <3UX}dS  
=Yg+A$DP0  
　　=4cos³a-3cosa |L,J zJWJ  
>cNUqUU  
　　sin3a=3sina-4sin³a s?o]'\b1  
Cc/=2uK  
　　=4sina(3/4-sin²a) W5#-(i+  
mD._ C?%H  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] a;^v_)Q  
E.@%Qan9\#  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ]#%}b9:h&  
"w5<o\$"w6  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)  wX<TQ r  
I8 J~E/  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] P_w~.K~5/  
:!BI,5@O  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) z :jt ]jX  
)J23@{SH  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ADsb_w5  
RE%D(R+  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ! %C#vezy  
FyFv6qEHv  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] h`3 Tc;.  
^K*\*&  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) '` Xi|'  
KE.IwpM  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)  lT{ r5  
P .pQo>hB  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} hDWcff:  
&@&SFKw  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 7/15`eg  
L8!t7T$  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] %<'@M7*^  
E57O$ B  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] H+M=F}g|j  
=XkL_-iK  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) B=|k7ulj=  
;lcXZ\ULp  
　　上述两式相比可得 6| R,Y   
Fzu9oY.  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ge;WlPSS  
_zd*BW=|  
半角公式 }*[3lUO  
uDj4UF.U  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); >B@['5KS  
I6_QV@Qxy<  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 9ibt d5Jk  
n4oU@V.wHb  
和差化积 9sBl,tm  
!(q_K&M;  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] P-D+ $3,v  
~H}Umd.c  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] B=p g#na~  
U&}_zD#  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Ghs @1)I  
Lw[nE@!  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] EMR*S3 kVR  
gdL?wV  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) uhw}E79  
zMcVhvw1   
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Fs KRF&+  
1 ?Wv zr  
积化和差 ^>OIpL\  
7L D]xR  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Xi5$$?a:  
)}Rp\cY z  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 0,kZqr  
-rA}?  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 9g KQoEb}  
Z} tOG  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] D">4VvhH  
D ht,  
诱导公式 ;kUN]lLS^  
3KF.,^6  
　　sin(-α) = -sinα k.>@J9/<7'  
S|4:G %2  
　　cos(-α) = cosα eLswuBT oT  
>~vE{,  
　　sin(π/2-α) = cosα />'CB eT*W  
\S@SM 5[  
　　cos(π/2-α) = sinα w%){@M+|  
~% S IB$  
　　sin(π/2+α) = cosα 6VVJ ?`  
Gptm_yb;  
　　cos(π/2+α) = -sinα C'& L#bJ/  
TqcFIoFq|  
　　sin(π-α) = sinα ,fC2y|H2=  
jzg<~;QIr  
　　cos(π-α) = -cosα ;5ctlIF"yS  
{V3gf{Nv  
　　sin(π+α) = -sinα .jzTexE2_  
O-et;ba  
　　cos(π+α) = -cosα |986O|k!"_  
(%' P-N:mu  
　　tanA= sinA/cosA x>ZW, 1R  
,~Q6[w+bL  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ByK?aC  
*[78O_K  
　　tan（π/2－α）＝cotα aT''<224@  
rEo3c\@6@  
　　tan（π－α）＝－tanα KE5?.Fm  
;%AQMZ_  
　　tan（π＋α）＝tanα @}o X&g  
m^M-qp Xd  
万能公式 <}qH6u>\)  
fH|SS@=u  
　　 7Q'ba&  
x^UQadxi&  
其它公式 Pyn*HKQAI  
7]?'VFmve  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 h!|8$p5  
yqDKIPMNQ  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 >u~0wQZ+C  
wqPyc}  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 nSQ053  
w$Q74@jZ  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 {;HRK*/  
GN{Ld  
　　对于任意非直角三角形,总有 E.=eAI  
Kx@1y_ J  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7.7Te[+3%  
oRr% nV  
　　证: c*WuNIg@%  
B.+Bp =f=  
　　A+B=π-C tvBL B  
kMq@ F-H  
　　tan(A+B)=tan(π-C) YZ K6|YI  
8Odsqwi?A  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) \$Oy/08  
Zya|m~m[H  
　　整理可得 &,nKJC~L  
F;]]G3[  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC LNX1Nl B  
$>J!o%b`  
　　得证 09I~[$  
4bNFf   
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 8t^mRt m  
FEP#kjs,{  
其他非重点三角函数 9jy ?d <  
<9#  *w  
　　csc(a) = 1/sin(a) :,$c9@F']v  
ITb#WP  
　　sec(a) = 1/cos(a) '"D]R]C=  
:{po#4  
　　 n-v8{=RM!  
n~j9R)  
双曲函数 c@%fe]Gg  
dZe9_onSs8  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 2Tv ZoC  
:@n:@~  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 =&XQD--  
u f;^1)~4  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 5PxFews  
i_}%W:u  
　　公式一： p'UU7C  
PAki8?E  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Bn1/| T?p  
T D?Y4  
　　sin（2kπ＋α）= sinα d_6p90  
vjBxe-&  
　　cos（2kπ＋α）= cosα {ReD=dEY  
bfa<aa7I  
　　tan（kπ＋α）= tanα d"'0cO  
,FF;#dS6  
　　cot（kπ＋α）= cotα sa<l  
%U;C9PRtc  
　　公式二： $5n-mEq3(  
:rhBc  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： "/>O lA  
b &10+#2b  
　　sin（π＋α）= -sinα o;KE(|9  
G@,~Qs?G  
　　cos（π＋α）= -cosα t>6 r:WM}  
v}HR>"Y  
　　tan（π＋α）= tanα 6kj~c \T:}  
=Zb?y (  
　　cot（π＋α）= cotα "4JMr,A   
w=6KT!R;s*  
　　公式三： hgO>"  
@1TB7Se>  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： :&;]Vx_  
B1wR  
　　sin（-α）= -sinα i2uT&vY  
T4!?0<{  
　　cos（-α）= cosα #<FxK  
.4kWn X  
　　tan（-α）= -tanα ' 9h+snS  
F'"E$~H<\  
　　cot（-α）= -cotα w:,E(1e  
5 y.8J8{  
　　公式四： 2_@4,)N  
FMoLI3X  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： "`^qx<m0  
WA]I[ZD8  
　　sin（π-α）= sinα Oejy`,._  
:'\-;v  
　　cos（π-α）= -cosα {-&j6w1P6  
wbdgS\nlUG  
　　tan（π-α）= -tanα mCP)7+ZP  
6A}c^A J  
　　cot（π-α）= -cotα gnl (k,e  
d,b7{vZhw  
　　公式五： JbHYNLWN&4  
#16Ue4^~  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： phv=  
x_[ VW8g  
　　sin（2π-α）= -sinα {XD  
mWXr+bhm!  
　　cos（2π-α）= cosα dzpkS  
|=fHB{_  
　　tan（2π-α）= -tanα X4jYN,9  
rO+k-Rx"#z  
　　cot（2π-α）= -cotα n\<=k h$L  
+\k[^HVVtt  
　　公式六： _T-v4U2\V  
Qzk +  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： (77!$&  
gA?-cX+fl  
　　sin（π/2+α）= cosα bmwmm(2xh  
>K{I:>2  
　　cos（π/2+α）= -sinα _b"><b1   
|Iz1\p&=  
　　tan（π/2+α）= -cotα 6B$5R&0sps  
uGn<Hj=  
　　cot（π/2+α）= -tanα *EP>;`sD]  
$v=\:Omt&  
　　sin（π/2-α）= cosα F|VD cHb  
>sS|GtN  
　　cos（π/2-α）= sinα D6~Bsa|piv  
MSxG271  
　　tan（π/2-α）= cotα * ,CLO<  
LX(:#lDl  
　　cot（π/2-α）= tanα X}-J I0$7  
J !-T`l-  
　　sin（3π/2+α）= -cosα P2@d i.  
BJ kN$  
　　cos（3π/2+α）= sinα !l\`kH :  
z<,h[6L  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 7_9p@;ns^A  
`C~!Y;6  
　　cot（3π/2+α）= -tanα bIx*T8}KL  
=iPUQFg@  
　　sin（3π/2-α）= -cosα LV01W;~K  
_ *fV's5  
　　cos（3π/2-α）= -sinα cP C#FU1  
"mvu|uteGY  
　　tan（3π/2-α）= cotα sWjj|TN.  
v\ j--Yz*0  
　　cot（3π/2-α）= tanα oQ5u1  
b_7R>E1W  
　　(以上k∈Z) '.)(:)  
 -R leO  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 /6 Jxd qPW  
P*K3~*:G  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =  n':#*P  
9{2%x)G   
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } fd`](I[&  
F0?Eg`YJb  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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