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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 qJ:P5rLM+  
ly;eK`;=  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 8@^;+#QjvH  
Ue]m(!Zu^q  
　　1、三角函数本质： zOsk)vCXM  
9`TfEBS  
　　三角函数的本质来源于定义 DdVY=@E{  
T& fYmMB;0  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 !?:Bw/2o  
<tyE[$u9!  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ]+k-regT0n  
H rv.[H  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ~FR4 rn;  
X^dw4N@}9  
　　推导： iMgwhKgO  
n|&.M-7u.  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 toI.MNYK  
_^x}sMcZ  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 1rga fqn2  
c9WR'rfB-  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) MoUY^Nd  
C>D"; jekj  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 B;wMSV  
 M+-D>nX  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 'l(g 1   
Eexi"I  
　　[1] 3nmgG_i:  
_FYS2>  
　　两角和公式 AEM3cLv!3  
IrTxAa,  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Ao$KB*B6  
V.Ta}wr|  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  +$Z#B@T  
`NDoKQ-`P  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ; M$)c+i  
@x%_1N ;B  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB k=Gn I)<V  
>F}+#qxy  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ii92\<.q'u  
(`K*)^W  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) J%zj l 'U  
OCFXdS  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  |v Lc<<  
#\w -/k  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) LwCKXL-:  
2NJ(;E #S  
倍角公式 hxpRtNE r  
Y!PR P1^  
　　Sin2A=2SinA•CosA kd4W?_x*  
uk "[1>2  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 T qxTK  
r-OUW<=  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） zX[kt .b  
yYCL\29M  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 7kv/-V^  
-JOm<EU'  
三倍角公式 ;TA.#]RXT  
P2Ek}/W  
　　 ,ap);*|  
1%F nJT=vK  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) J_WFNLbmO  
;] (A{Rm  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) #AqWtby_  
jNP=A_M_}s  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) TffiZ9:  
duoZ27m  
三倍角公式推导  8MUg]Md  
lw85>=  
　　sin3a &bU-,{|A  
U%&7L` (  
　　=sin(2a+a) [Fm+|{v0DR  
!9\Y/7A  
　　=sin2acosa+cos2asina "&h~&HSn  
^>vD_nU)  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina :or'O O  
GGu $K }  
　　=3sina-4sin³a jC.G3s-#L7  
sk0H8:#/  
　　cos3a \]7PKk1  
v5pl#kZ  
　　=cos(2a+a) I_<#LW7kVG  
&.Qum{H\  
　　=cos2acosa-sin2asina m<[dTR  
\7V_[S  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 64u)("8I^  
~o$57 ?~F  
　　=4cos³a-3cosa @Y4]vj  
}Oz@<QO  
　　sin3a=3sina-4sin³a ZtK*;  
c(xt~  
　　=4sina(3/4-sin²a) ]l@aZNd  
9z#~]b  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] LmziOnmqh  
nu&sDQVF  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) i=D2?z|_  
qN$/dc|{A  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ] 6c>=z(d  
m`4DId%#x  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 5z8P6Dux#  
CYd|{J  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 2\=?[|t{mR  
8X-Ap}q5  
　　cos3a=4cos³a-3cosa C0pGwz  
;a1?<A(9  
　　=4cosa(cos²a-3/4) \/lqC{rY2  
M"sm,r\  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 1&JESio  
-(n{!Vx  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) gZ F l`*  
G-oBkUSz  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) : /jlDBw0R  
>6f)avrx  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} rq`5nZ:  
n|n #2 a j  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) _ -+O  
qk}^(5  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] [H)vxt4f  
[{[M  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ;L8p~=  
}X70aO,wML  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) pdT4:eSkU  
r%Zc Gu  
　　上述两式相比可得 $j"CMUE  
Tm4F?t p  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) d1 |Nr> <  
|U&-_Z  
半角公式 -*kspLx@"  
5m>F$CCZ,x  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); >9^i.#!  
+Mxp6F5l8  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. :({nTQb  
k)/BVi;YL2  
和差化积 f \<<bVVv  
('(lF\<c  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] UoUj"/x2  
{F:u}s/3  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <pU'*YJPz  
r>db_{W;  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] fTF 6E@~  
9^jf+pVT  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] DFb I|<  
0s[ N  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 7!<7B0]!  
<#K(KJ  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Iz@@e;c)  
F{)@ 9=.  
积化和差 i[T}bQ5  
Tk{ *6|ul  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Cq,^d 33F&  
"PM |  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] fkeYVnrr<  
]F+Pw?G  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] -?q]^tn9  
y><y*  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] (f}MFO{|?  
59|T;(wp  
诱导公式 4KXs\s=-  
LxW| ,  
　　sin(-α) = -sinα <iZ]a`;  
)G2>5X&j2  
　　cos(-α) = cosα `/o\0GyC  
]y9N%bM7  
　　sin(π/2-α) = cosα '60t5@:  
?zNw>LR  
　　cos(π/2-α) = sinα {m7+| P  
e K L^Mk  
　　sin(π/2+α) = cosα 1:Ic|nc,2  
'_,nbcd`P  
　　cos(π/2+α) = -sinα vUj& ]n'  
.,bb C0 w  
　　sin(π-α) = sinα ])Z{/^Gmj  
If<\P)Z  
　　cos(π-α) = -cosα "Hb6oXX'  
;nkD{Anf  
　　sin(π+α) = -sinα 3gHg%.Q  
JHeMLe+  
　　cos(π+α) = -cosα (S10H"I=RS  
@6?</x9J[  
　　tanA= sinA/cosA D5pbbfu  
oPM 5Dor  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα #'NlOb?|  
%lt:bTmc'  
　　tan（π/2－α）＝cotα <^86(mK+6D  
^Av+[S"l  
　　tan（π－α）＝－tanα Up~a5]<Wh  
r@ryE}(}  
　　tan（π＋α）＝tanα Dt{,.c(  
=O& [c~[  
万能公式 =YI="2/y  
.mY&7V  
　　 Z@ch4 [51  
~`!&RBEJ  
其它公式 htt~nE  
?{`@ XOUM  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 4:"1gf"  
Ag>'1e9l-  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 W7x13K   
QQ lLV5cR+  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 \+_h V1r4  
AxfC|H  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Jua<as  
a'Wl~m$  
　　对于任意非直角三角形,总有 g gJUQ  
In>u?'NR,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC eSujN5nd  
|~?="r`  
　　证: y  =vO&:m  
~^<V2`'aL  
　　A+B=π-C oj7DU y~:`  
_5dn5qQP9  
　　tan(A+B)=tan(π-C) aS;kIb8  
C2eT&%R  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 6}maZfvHu  
 33_AxZR  
　　整理可得 ![!-[  
_cYvJL  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC U/:4'  
{>3F7>~1o  
　　得证 SJw-f4hl  
.+lp:`|{  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 L"fv1oL&  
=XuScj%}|  
其他非重点三角函数 +)$c8a Zl  
%itSdqy-  
　　csc(a) = 1/sin(a) WCo!80h  
uBB2Pb5  
　　sec(a) = 1/cos(a) 6p|XG  
8+wog)  
　　 ^AG o)oO  
 fB6E v'  
双曲函数 nRdtpc  
*eo I$L^70  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 l[M4{5  
SyQ%r>Ea7  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 {uqRe?  
)~q8 L`s  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) '9F$^ ,  
Tj~=/9oWz  
　　公式一： N$V>$!_  
<P#K]   
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： "y%\{AA 7  
7+ B$f*TK  
　　sin（2kπ＋α）= sinα k _z& y=  
&G"* ]kO  
　　cos（2kπ＋α）= cosα  ~"rK[  
Umr vaD  
　　tan（kπ＋α）= tanα }wQIsjd{n  
P w#GO=n  
　　cot（kπ＋α）= cotα Y40!D+tz  
H q sTY  
　　公式二： B,}V Z/|  
J+X*-n31  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： g@:wuL*b(N  
u'i(n  
　　sin（π＋α）= -sinα FgLEb[  
=J#73Cf/  
　　cos（π＋α）= -cosα RlP.B'`brR  
8T4$bv  
　　tan（π＋α）= tanα GU3t-.K<  
$v(Q/0tX<8  
　　cot（π＋α）= cotα 'f*lT  
D y^MO<I  
　　公式三： H-.@ ~  
ck3b^Xj  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： @%a-D3o'c  
Ec@+;  
　　sin（-α）= -sinα rg8 'Rgn  
j@D <_n  
　　cos（-α）= cosα H#3  
BR<t4k<ba  
　　tan（-α）= -tanα i$~/L%#!  
zsVTOXg  
　　cot（-α）= -cotα ?a?s6$Cu  
WV1eHg+S9  
　　公式四： IGB5Z ,\S  
l 5znXC  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 9'cpr)r@T  
_ "RiVgO  
　　sin（π-α）= sinα |'cP9883`  
sh7 ]HUDb  
　　cos（π-α）= -cosα 9MEtJ0aT  
3 &*5Ox:,;  
　　tan（π-α）= -tanα {Q4:ci  
A2_/U50?  
　　cot（π-α）= -cotα  J=9Lx?  
f]A."0jDWG  
　　公式五： M(W, )Ug-  
|M%%Zo  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Ns]t.t@Ua  
[L]*1_47  
　　sin（2π-α）= -sinα wZ,hw=IY  
\+CQm-i  
　　cos（2π-α）= cosα vO}! D  
L g`vF?  
　　tan（2π-α）= -tanα /K;3a =13  
V$d5*E V+  
　　cot（2π-α）= -cotα AbE $tK   
~CPc^~:  
　　公式六： _Wx5|Jl\  
; nAt4M<C  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： qU`MR""Z|  
HBawhQ9  
　　sin（π/2+α）= cosα j\#7vsY=  
QL7pk)ZE  
　　cos（π/2+α）= -sinα P9R ?x  
@]ur1m"  
　　tan（π/2+α）= -cotα ='N TI@'x  
sex0N 8[j  
　　cot（π/2+α）= -tanα I2wPKrCq  
HP Ll $e  
　　sin（π/2-α）= cosα ]UI0VB+  
`}X$qb6*=O  
　　cos（π/2-α）= sinα j.-.qxkRi  
g;ddCr,rdX  
　　tan（π/2-α）= cotα a!"A%,]  
HZjFTIwOk  
　　cot（π/2-α）= tanα o ' 6 4\  
W~rW&rlvl  
　　sin（3π/2+α）= -cosα I}FD/FjE  
\L0 Em  
　　cos（3π/2+α）= sinα <U;vvl  
".mug&4MY  
　　tan（3π/2+α）= -cotα *4qH.Q(mk  
'&;uz@;H d  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 2I gv  
XI _#)<  
　　sin（3π/2-α）= -cosα _| |F:1  
XOUbnF lg  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 5Y66t?>  
`,nlMUz!  
　　tan（3π/2-α）= cotα DY\qC  
P!j^Pr@[  
　　cot（3π/2-α）= tanα *u!'1yl(G>  
A XJ4_?  
　　(以上k∈Z) HH&bXpe-g  
-sUNAS  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 OYuqF`j3  
cL`rU3S%  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = = ~ a@j  
q:9WP  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } T @~@.FMf%  
p2$&mV]`P  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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