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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 A\l $,|o  
zA>Fn&  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 'P*Y2W 4W  
T*|}aj-  
　　1、三角函数本质： bs'pK!j[  
.5A3CPKn  
　　三角函数的本质来源于定义 Umm\3SbV  
Yw5n#NJ  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 oEmme)~6Y  
b;0$%v  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 T]:M2M *  
H:(@9R1s  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 'uckcn S  
r't[bV_B  
　　推导： ,7oRD'd  
{jfS]v  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ,kO5Wve A  
,-u+$'-SG  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ]Td`?|-|  
^b `YgAJ  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) oPJ<k_ *  
"0'/$-O7  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 w4TF@/PRz  
2 ,$ s:i  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） SOP|{ k  
>-9I@\jB.  
　　[1] Je$hCAxS  
RzEE{JW  
　　两角和公式 b2n:\$-,;  
}WjX21 &  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB j)K26T7F.  
m7c4|u}*2J  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  $hO+fj\Om  
U1h`,Pq  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB !k$<|H? Zn  
5Y lny&  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB BdUexuu  
$."6[F$J  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Gs/m]H/%  
 Bi v$S/  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) h(2{$4_&  
^~7@ hYK  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ^DeM!=M  
Rem7Qha,U  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) bIv{w/0  
%wCN|:%  
倍角公式 'z^58Ux5  
1IO_agb[A  
　　Sin2A=2SinA•CosA hLg#tcdE  
+hYpqH  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 &zF89eYG  
<X(47e1  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） = &X9;  
M1-^QFOV  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） J09mk  
g>OjI.KfH%  
三倍角公式 jxZiNXaL  
H( _[at>  
　　 6}oE|8wV  
V~3vRNX"an  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Ghc(B?W  
FD-n@H2X  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) QbY=lZ^sI  
}/HZh  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) {4+ZOp %>  
n `Na/yE  
三倍角公式推导 l!>x  
P#;ric5I  
　　sin3a C'd2R  
f==$; 2z  
　　=sin(2a+a) Q8:w|$X  
^,kJ07;KB  
　　=sin2acosa+cos2asina {%~JeS{u  
iO g L$n  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ]d&zJCUCH  
pYVB{F{<  
　　=3sina-4sin³a S}qDcO7"\V  
@m}QT I #\  
　　cos3a Ocgp9f0'  
$7n?oi0(m  
　　=cos(2a+a) `,\[f|Q  
nBh`J>* A  
　　=cos2acosa-sin2asina |jvVEu  
` A8OZ:i$  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa fQDF4  
g eSmMq  
　　=4cos³a-3cosa _> T<J  
lFqShvK_Up  
　　sin3a=3sina-4sin³a {L7HWM  
( AwDy   
　　=4sina(3/4-sin²a) AvfX6Ind  
mn^ee@,  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ([~_BGdo  
DgtvM  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) YN"oo5X\`  
,yw"J/'_)a  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) eQv6XM+2  
rxoV|xO*O  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] wYtD@;bC  
W +f;-#IB  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 8q&5,7K_  
4R':p"  
　　cos3a=4cos³a-3cosa B02 E  
d I+*(TFP  
　　=4cosa(cos²a-3/4) *7l=2/g g  
\<YhN1j  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] iTa+RE@#  
",r/%Zo3  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°)  "lKsk*  
]Ss 8`tl  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) +`8 m  
<U$\>A*U`b  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} B*. DLO3  
ZiVt?raKw%  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) #%+N*|dx  
Nf/[/7xcs  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] &iLu7) Cke  
o^+7C {L  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ~.Wa6YOR  
eC|f=&;1  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 44$B@   
q !G.$Ka  
　　上述两式相比可得 :j 8XHa  
-1lwI u  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) NH\c>:W3}  
U<J2k@#Y  
半角公式 f9;"+X-9O  
S$e2*N/  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ,yAdMs=n  
cIx 7QX  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ~t3LeUHp  
yW$2=!}0  
和差化积 C y X&*vr  
EEZr>p6O'  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 4HAm+.7(i  
FL/ F%U  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] &UEqDP!K  
s9 ;~K_Vh  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \C5U8 '_!2  
uv[~YEy  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] I7I>\U@|'c  
%/-"M_u"  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) u< V(<CKN  
tL Rg<  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ~2?eno  
dE*`Q  
积化和差 3/^I&QtP/  
sdl%-P<|  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ZS "&h`  
Da:T kU42  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] V(D$UCu  
WF)2Nk E  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 8 v[2c@2O2  
-qfGu;6S\/  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ig^T?"vTxp  
K3P _VUz  
诱导公式 `pzyA/W'  
%mU{fqaVg  
　　sin(-α) = -sinα xG?(`C2`  
;*pP~1og  
　　cos(-α) = cosα yYUw|j/I<  
uGk+vN  
　　sin(π/2-α) = cosα #&!5}W/gI  
%@:^kr  
　　cos(π/2-α) = sinα QwOBc;  
44Q1)o$h5l  
　　sin(π/2+α) = cosα 9.$HH[7  
$!b&UPoPF:  
　　cos(π/2+α) = -sinα !vK^0Ktw>  
~cjui6>@R  
　　sin(π-α) = sinα GZaO(EF,  
]% ?&L|(AF  
　　cos(π-α) = -cosα e>LR;]U  
^SN'-0>u!  
　　sin(π+α) = -sinα * "d[& pt  
&q@td_?b  
　　cos(π+α) = -cosα U3dJ8yXp  
=LRI8 _xv  
　　tanA= sinA/cosA }.'g>p  
Q9;%Q_~t  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα U"K0RKo  
y}6+Fh  
　　tan（π/2－α）＝cotα Kvgs+xD  
7.a3Wfu  
　　tan（π－α）＝－tanα Z1V!/$N3  
 S8 4Psm  
　　tan（π＋α）＝tanα x -dL=K9  
YN !Vr  
万能公式 G.3bV)FC  
0M6{3~ J  
　　 Mo= o  
6k<2^<bBD  
其它公式 ?f13Z<<.  
HEHQDCyu  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 A7_] "  
\i;f  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2  aHjHN& 2  
\l/#Dc yE  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 XR6{[W+W  
Jp!k:2J=  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ..s~ HlL  
`*:X 1k  
　　对于任意非直角三角形,总有 ht4r!xq0"  
fl[0zv  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC )Yg  #f  
!`A~!QW  
　　证: U` O=A3'  
@sII|o]  
　　A+B=π-C 3j<<KFj  
u)7<+j_y  
　　tan(A+B)=tan(π-C) &?M|& Ym  
(<S3*vmDs  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 7 @_R['  
cHUt('.sE  
　　整理可得 y nm[%wy  
Vc/J@du$_&  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC _d 5Tx"  
Z8B=)GG  
　　得证 5KO)b= m  
58LX#:r-  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 >E7vbp#oU  
QK 0kXY"#  
其他非重点三角函数 -nO:1rcY(  
Q-IP0$=B"  
　　csc(a) = 1/sin(a) CPf!I%H_N  
c+* Kf%  
　　sec(a) = 1/cos(a) K WMYuA  
%q} pf'z  
　　 1" `0ak  
$(rr6&$  
双曲函数 YqAf:k '  
o i&->Na  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 WZSi}2 h  
|fw 5'Uu  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 |/a*$j 5k  
:iR3dC~'  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 4uX}y  
,4c i*  
　　公式一： Vqt` Pe  
f"v[!= X  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： V *Igi  
G#eu]2e]<,  
　　sin（2kπ＋α）= sinα  +[ImR$  
RXni6>RY  
　　cos（2kπ＋α）= cosα F}[GG`4f  
x&y)b&@d  
　　tan（kπ＋α）= tanα nj+;j$Bv  
Pc NmM  
　　cot（kπ＋α）= cotα / {sz  
Z6 u'4`7  
　　公式二： ^ F9V+'Mh  
L6)EHSC1SD  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： u\ U{Z)N  
JZkjRKFF  
　　sin（π＋α）= -sinα "(81z9  
= VhY6B  
　　cos（π＋α）= -cosα EILWw:jXZ  
`P_O\b9  
　　tan（π＋α）= tanα ,<J9r[.&r  
[[vBv5r  
　　cot（π＋α）= cotα f8/@q{  
t_wj"M}|R6  
　　公式三： 'Uw U_ v  
{M7Nrg:R-N  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 6?+v"  
V1SHK%  
　　sin（-α）= -sinα q5?wnly~  
=Wy;2`)  
　　cos（-α）= cosα 4 =plQ$}  
8A pk6SU(#  
　　tan（-α）= -tanα w;ljI$  
<`tee*i[  
　　cot（-α）= -cotα vV_HOV  
g|Pd@gN{  
　　公式四： #+6*wfum  
5%_TW}f]  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： MXE3Vg)  
tm=^kKBg  
　　sin（π-α）= sinα I!V9 +uQ  
{RDccoA'  
　　cos（π-α）= -cosα Z_ ;Ow {  
k5<t{d<{  
　　tan（π-α）= -tanα `G1#-Hh&  
ny_LGK}  
　　cot（π-α）= -cotα LBf~GU)Cz3  
#M|@yw'  
　　公式五： <9U0x~=  
Tc`PQ IM@  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： brjUXswF  
h)|!g*18 -  
　　sin（2π-α）= -sinα mzW:  
i.Xc$Mf  
　　cos（2π-α）= cosα __X ]E)sBU  
2xN5y|E2  
　　tan（2π-α）= -tanα Ge)ugk8"  
X*xRVEto  
　　cot（2π-α）= -cotα w}y#,EN q  
Voy3Zv!+  
　　公式六： S&U)7[d  
RWy_lq  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： *zel0E8  
pWxRro  
　　sin（π/2+α）= cosα IP[ c"GwT  
$Fs}zSu(  
　　cos（π/2+α）= -sinα P06Pu,j  
=)zj5t&lF  
　　tan（π/2+α）= -cotα V{s$ogO  
RJ.)_X5  
　　cot（π/2+α）= -tanα W mx7|m  
D#ZIfi+ 2  
　　sin（π/2-α）= cosα RTlLqu  
[8oHscGR  
　　cos（π/2-α）= sinα "vX=4$YG  
Cfb+NuxlO  
　　tan（π/2-α）= cotα ]0IVQM  
?+Lx#;R"  
　　cot（π/2-α）= tanα }G.`Xq^!  
$j >++R@Dx  
　　sin（3π/2+α）= -cosα yV'y)m0GE  
g6.5|UYs[  
　　cos（3π/2+α）= sinα DOR'Bo7Jd  
l+ ^'T  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 9ckJ=p9q  
VmT0Us9%  
　　cot（3π/2+α）= -tanα +_!O Oqo  
@&RWr0c)^  
　　sin（3π/2-α）= -cosα /\1l!~ 4  
q IcK|(  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 1'3DV-\&  
,nqq<J:  
　　tan（3π/2-α）= cotα sZ#u^ fO  
:''cB)0=  
　　cot（3π/2-α）= tanα 27S5(J^cV:  
b32(SHI  
　　(以上k∈Z) Hck3Q[l  
9r5= ,/  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 UH9WXg'  
  @mH^`  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = @5znk '=F  
T!o1;Q@05  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } [trPg=c  
~yU=SC  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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