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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 t^s<Ve  
xM1B?nIP  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. =O\.NH8  
G^xmomp  
　　1、三角函数本质： RCzks7O9  
}((p]#@  
　　三角函数的本质来源于定义 9^$tN5  
$3fQl$  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 r;S E.h  
E|q)D  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ,lA*H#]11  
4wYBj8J  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： hGgL6fuit  
Vo5{Ud&  
　　推导： o$FSSA  
t;7QpKm  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 6afHx)Y   
: c!8  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) L{X5L!  
9gyg>x2V  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) \C s_|t+d  
C9re)  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 JQ*s6mZC  
t{V#:r#(}  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） $ &Nl7#mW  
S<%]O%r  
　　[1] uzOS  
[3]e`}  
　　两角和公式 $6Vlvz\AA  
h IyI(fp  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 14t[+T=x8:  
um~#.r#:W  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  muh3T-0  
{<~4VUry  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB u ] hu  
BNm `w1D|  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB mW YU-c  
#vsuE=x@  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) PPupKS  
/a$sPB:_g  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) {#K}0  
E(03i(Ga_  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  elO|~ u  
yP _VG  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 6|~6%$>nR  
.|4BY_  
倍角公式 R~02.3  
d<{tp,   
　　Sin2A=2SinA•CosA |mgWF;li.o  
6rVp24TQjc  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 '8T h8A  
JhN:_l3}  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ;&su&5*X$  
Vs c4  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） eQ|< e=  
Jg|n%@%  
三倍角公式 $TqJ/[o  
oDGD;n=  
　　 SCO]e}L}  
dC0:,G4  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 5#4NSf.>I  
)#s,+T{;)  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) -q/A#(8  
Ap.2f|  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) >k)NPCL^i  
Zi' D7  
三倍角公式推导 <p$,@;X  
N@or%  
　　sin3a 8 IwF\b  
8N{pyD@9  
　　=sin(2a+a) ki m!n;9  
!(boMio  
　　=sin2acosa+cos2asina 1!Cz;u?6  
(:"@7\.  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina XaD0;/-  
4_ fDj_ K  
　　=3sina-4sin³a sku];e  
&uoF+cP/!  
　　cos3a . UpDD6|  
U(PN<C$q  
　　=cos(2a+a) P/td 2E*/:  
fI;Wu4v  
　　=cos2acosa-sin2asina 5t>$/f#e0  
@$<(lQvF  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa MOM |{lzc  
{zS,%oX  
　　=4cos³a-3cosa /;i'BcP  
j,YToJgZ  
　　sin3a=3sina-4sin³a aCW @MJj~  
p>y"hV  
　　=4sina(3/4-sin²a) VO7 $#!  
{ zWKs!?  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ( F=jv&&  
bS|GLlIr  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) TrCP5"E9  
IO#vvB^g  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) $KPI071  
S&&09jLs`C  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] )#7 VI7/Z  
+r:' -yL  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ygg5G(ZL  
FWd1f=h1&  
　　cos3a=4cos³a-3cosa N D`_7 7q  
@a5tJ{<X  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ^^E{6 U)  
^k_?71.[P  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²]  M]9o F  
zbLpj;lf  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 8+ueSJwBdx  
y pOs  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) U -L=a  
L%V"d'~u  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} d$@~B>jg  
Gb8Y{PiZ4  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ^ffoE Sv]  
bZ8pU?'  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] -PVL9|  
 v)q G$!  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] &Wz[M^H"L  
Pjh#?wPh  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) XM{A?:p  
z^qqT\zZZ  
　　上述两式相比可得 -MrQ]yz+z  
53slJ8Fy  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) |vW=}rim  
=8sG$_"X.  
半角公式 cyAM<"N#@$  
 e$RH([  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); a+eI6/l  
e<#ac7HP  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. MIS4B  
[vBL>(:oF  
和差化积 E~t8r 6  
11x: f|  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 9> _6.sN  
TMomB8W~9  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] b]'1;^SZw*  
#z=K)83/R  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] $ k g+>\j  
X2L9&n ?  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] OuSEx/>O2  
_w9[j7mp  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) t-1[/%mcu  
;an jD~<  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) o C Rs)   
mG*1)RADi  
积化和差 R)~Z %Dc _  
J6Q["8B  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] |C_AO8qX{  
l^1<n{g  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ]N;" mg  
"QR=}e"5or  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] JX>e?BhK2{  
%+$y4=*>  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] h mTq^k  
S4q4,RLww  
诱导公式 rB+{ 9  
C`%<{Y2  
　　sin(-α) = -sinα 8kiu0 M  
$Jb;>WB  
　　cos(-α) = cosα XHFC9{_S  
'7ns0 T3  
　　sin(π/2-α) = cosα CiG]"_g^\  
"Z Va2 I  
　　cos(π/2-α) = sinα `9jVcViJ  
@'i1t),A  
　　sin(π/2+α) = cosα &f\*G9  
j`msaFK3{  
　　cos(π/2+α) = -sinα "v JpX<O  
%3tGIC  
　　sin(π-α) = sinα }fmi ,6  
Z+gIbD4m8  
　　cos(π-α) = -cosα EY.(I{s$PV  
sbx. ao  
　　sin(π+α) = -sinα ,bwz|E #`  
2(F::Ty Dq  
　　cos(π+α) = -cosα !Q@(NU4d  
"-cx-MUy  
　　tanA= sinA/cosA [ o VD>`  
BFPamZP  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα r8 )(_~or  
gSG Gl.  
　　tan（π/2－α）＝cotα +*8S"`  
^w$!Q$$ty  
　　tan（π－α）＝－tanα Ev(ef@\|"q  
hsC23 VMa  
　　tan（π＋α）＝tanα >(=t]F8:!  
(Hnl6  
万能公式 }q'_) B  
]@b ~83pQ  
　　 |C~*?KP  
nc0jfg&  
其它公式 b?+ s,  
M;Pt$.R  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 _9]Q=`+0  
x<$cVL ?  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 d#_Q i  
5D8Ic :  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 T^iPu{Y&T=  
dvw6m(Q  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 74KEwvQ2  
M#m2"tm  
　　对于任意非直角三角形,总有 ~$uVpa< -y  
 dM= D  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 8NCYfi@'&h  
 I-6Fp  
　　证: C{Z*XWX8  
\\v*^nhs  
　　A+B=π-C Apu Z&  
9d/ !5<i  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 0_3aW=i  
;9w4`!q%4  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) gH3&l%nz  
M0gf[%~X'  
　　整理可得 3jy b-la0  
USByqD,N  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC I#21;&~*  
9#57, |  
　　得证 6(O\S$66/  
lA^"/%8  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 p ~mS$!  
x?0jK])1ot  
其他非重点三角函数 g:De6Ax'  
v(+@l7F@  
　　csc(a) = 1/sin(a) loEC__73]  
e1wTv.)p9  
　　sec(a) = 1/cos(a) 1ATXm}"X  
J5`1y43e]  
　　 $.^.,K0[  
-136xKm`  
双曲函数 ~u;##0K^D  
3P#0-j_lw$  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ,bW U.[  
D|rO+e8Z  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 bwy ;b   
?j?=H"t@  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)  Z6V~b-LY  
0v pqzR  
　　公式一： 1GEp->Dr!2  
)+])V On  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： PfQPXmmq  
xi,H6fO  
　　sin（2kπ＋α）= sinα t<%&=Sn  
"djFNnFR  
　　cos（2kπ＋α）= cosα uLg_iUe  
Wj?9B|  
　　tan（kπ＋α）= tanα oeE R;Bi  
e Kq_ccr  
　　cot（kπ＋α）= cotα pK1)!l?X  
&6O_~5\c  
　　公式二： &qmC)VNT]  
KAiP^xP  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： GP+Wh:HK  
LhW=P8dxa  
　　sin（π＋α）= -sinα M}Coo38(-  
c(S0sf"v  
　　cos（π＋α）= -cosα Ei <RF  
5 R t~[  
　　tan（π＋α）= tanα gFt+0  
XHR3[SN,  
　　cot（π＋α）= cotα ++N-dFbA~  
}Vnl7~P  
　　公式三： BgPGyX Z  
*"k{N\j  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： MI3Vgf Bh  
5( $W>  
　　sin（-α）= -sinα PM6dI-T3  
5v txXU  
　　cos（-α）= cosα l=t7e  
k-Z,5X  
　　tan（-α）= -tanα I%iB] ?4  
6jTAH|~  
　　cot（-α）= -cotα &GO%w@M?qh  
xG# 9\  
　　公式四： &*0\H^/TV  
S,`gTZv;  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： <=Q@IS]yU  
f$+YY2   
　　sin（π-α）= sinα 6-v|E 'U s  
RNEV $^  
　　cos（π-α）= -cosα z})-B9M  
!m)\?j2Y  
　　tan（π-α）= -tanα o@L;>U|+d  
sw-C7+O  
　　cot（π-α）= -cotα jwI;b M  
/L:.vib  
　　公式五： :nOzC  
 #,fru  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： !{)c({ qr  
m?2Wv"/v R  
　　sin（2π-α）= -sinα {r/V{l  
d(S2b_C ?  
　　cos（2π-α）= cosα 4'aB-c!`  
tV66m(/ 6L  
　　tan（2π-α）= -tanα Rz.;\j  
H0L*w'r@  
　　cot（2π-α）= -cotα te@(iK   
y..::w|  
　　公式六： V VigFsr  
gz`G?C3#rl  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 1CZ<ei  
L5D'] }i  
　　sin（π/2+α）= cosα T>}3& 6y  
X!:NG]1H  
　　cos（π/2+α）= -sinα ABvMo.X  
E'IWz3(w  
　　tan（π/2+α）= -cotα veW/gV#F  
=P8u[m%  
　　cot（π/2+α）= -tanα &Rv!9"j;{#  
gz{  
　　sin（π/2-α）= cosα s1S .~kI  
=USps}]_M  
　　cos（π/2-α）= sinα INn,:k  
3.A2.hiy  
　　tan（π/2-α）= cotα ]E4{7H   
^xj\HMrS  
　　cot（π/2-α）= tanα !CY:G  
6 e ?K2t#  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 0bM= U|   
yxf9opDb  
　　cos（3π/2+α）= sinα aK'f(  
E:-h7e,@  
　　tan（3π/2+α）= -cotα W F:`E>c  
RQJX.f=V|  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 59N[|Ki>  
zYz lN3Uz  
　　sin（3π/2-α）= -cosα qF  `  
jE0ag iI  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Mb1X{fE  
hysX z}=&  
　　tan（3π/2-α）= cotα Ohp#zEus  
TzX[qpLk  
　　cot（3π/2-α）= tanα &H\!;5Jo  
Q"= tQ!  
　　(以上k∈Z)  Kk L3o7  
_^mP%u9Cs  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 RkW2+GrQ^  
Pj1 DLbfy  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = jdE}<pxOH  
]*k/Lha0  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } "yeEF>u\  
qKz4+@{  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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